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公務員考試行測數量關系萬能解法:文氏圖

來源:Internet   gkz6   2009-07-29

數形結合是數學解題中常用的思想方法,數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數學問題的本質。另外,由于使用了數形結合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷。 

縱觀近幾年公務員考試真題,無論是國考還是地方考試,集合問題作為一個熱點問題幾乎每年都會考到,此類題目的特點是總體難度不大,只要方法得當,一般都很容易求解。下面為大家介紹用數形結合方法解這類題的經典方法:文氏圖。

一般來說,考試中常考的集合關系主要有下面兩種:

1. 并集∪ 定義:取一個集合,設全集為I,A、B是I中的兩個子集,由所有屬于A或屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的并集,表示:A∪B。

比如說,現在要挑選一批人去參加籃球比賽。條件A是,這些人年齡要在18歲以上,條件B是,這些人身高要在180CM以上, 那么符合條件的人就是取條件A和B的并集,就是兩個條件都符合的人:18歲以上且身高在180CM以上。

2. 交集∩ 定義:(交就是取兩個集合共同的元素)A和B的交集是含有所有既屬于A又屬于B的元素,而沒有其他元素的集合。A和B的交集寫作“A∩B”。形式上:x屬于A∩B當且僅當x屬于A且x屬于B。

例如:集合{1,2,3}和{2,3,4} 的交集為{2,3}。數字9不屬于素數集合{2,3,5,7,11} 和奇數集合{1,3,5,7,9,11}的交集。若兩個集合 A 和 B 的交集為空,就是說他們沒有公共元素,則他們不相交。

(I)取一個集合,設全集為I,A、B是I中的兩個子集,X為A和B的相交部分,則集合間有如下關系:

A∩B=X,A+B=A∪B-X;文氏圖如下圖。

(II)取一個集合,設全集為I,A、B、C是I中的兩個子集,D=A∩C,E=B∩C,F=A∩B,x為A、B、C的公共部分,即x=A∩B∩C,則集合間有如下關系:

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C ;文氏圖如下圖

下面讓我們回顧一下歷年國考和地方真題,了解一下文氏圖的一些應用。

例:如下圖所示,X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三個不同形狀的紙片,它們部分重疊放在一起蓋在桌面上,總共蓋住的面積為290,且X與Y、Y與Z、Z與X重疊部分面積分別為24、70、36,問陰影部分的面積是多少?( )

A. 15 B. 16

C. 14 D. 18

——『2009年國家、中央公務員錄用考試真題』

【答案:B】從題干及提供的圖我們可以看出,所求的陰影部分的面積即(II)中的x,直接套用上述公式,我們可以得到:X∪Y∪Z=64+180+160,X∩Z=24,X∩Y=36,Y∩Z=70,則:

x=X∪Y∪Z-[X+Y+Z-X∩Z-X∩Y-Y∩Z]=290-[64+180+160-24-70-36]=16

從圖上可以清楚的看到,所求的陰影部分是X,Y,Z這三個圖形的公共部分。即圖1中的x,由題意有:64+180+160-24-70-36+x=290,解得x=16。

例:旅行社對120人的調查顯示,喜歡爬山的與不喜歡爬山的人數比為5:3,喜歡游泳的與不喜歡游泳的人數比為7:5,兩種活動都喜歡的有43人,對這兩種活動都不喜歡的人數是( )。

A. 18 B. 27 C. 28 D. 32

——『2009年廣東省公務員錄用考試真題』

【答案:A】欲求兩種活動都喜歡的人數,我們可以先求出兩種活動都不喜歡的人數。套用(I)中的公式:喜歡爬山的人數為120×58 =75,可令A=75;喜歡游泳的人數為120×712 =70,可令B=70;兩種活動都喜歡的有43人,即A∩B=43,故兩項活動至少喜歡一個的人數為75+70-43=102人,即A∪B=105,則兩種活動都不喜歡的人數為120-102=18(人)。

例:某外語班的30名學生中,有8人學習 英語 ,12人學習日語,3人既學英語也學日語,問有多少人既不學英語又沒學日語?( )

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

——『2007年河南省公務員錄用考試真題』

【答案:B】題中要求的是既不學英語又不學日語的人數,我們可以先求出既學英語又學日語的人數。總人數減去既學英語又學日語的人數即為所求的人數。套用上面的公式可知,即學英語也學日語的人數為8+12-3=17,則既不學英語又沒學日語的人數是:30-(8+12-3)=13。

例:電視臺向100人調查昨天收看電視情況,有62人看過2頻道,34人看過8頻道,11人兩個頻道都看過。問,兩個頻道都沒有看過的有多少人?( )

A.4 B.15 C.17 D.28

——『2007年北京社招公務員錄用考試真題』

【答案:B】本題解法同上,直接套用上述公式求出既看過2頻道又看過8頻道的人數為62+34-11=85人,則兩個頻道都沒看過的有100-85=15人。

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